På discovery fins en härlig tävling som blir lite av reklam för kanalen men i alla fall gå till.
Här är den. Tävling!!
Allt för i dag.
Thomas.
måndag 12 november 2012
onsdag 7 november 2012
Dirivata din vän i kurvlutingen.
Om man vill veta hur något förändras under en tid. Och då vill man vet vilken hastighet den förändras vid en given tidpunkt.
Tex. om en myrstacks befolkning av myror ökar från 1000st till 5000st på 20dagar lägger man upp följande formaula.
(5000-1000)/(20-0)=200st/dag.
Då har man ett genomsnitt på ökningen per dag i staken. Men bara under den mätta perioden.
Så man tar nytt värde - gammalt värde. och delar den med tidsperioden som man intresserad av.
Så mellan dessa punkter på en graf får man en Sekant, en rät linje mellan två punkter vilket visar intervallets k-värde.
Tangent är ett värde som visar kurvans lutning när en rät linje tangerar en punkt i kurvan. Tangenten visar och kurvans k-värde vid en punkt.
Sekantens lutning får man genom att riktnings koefficienten är k(PQ) och nås genom:
DeltaY=f(a+h)-f(a)
DeltaX=a+h-a=h
k(PQ)=Dy/Dx=(f(a+h)-f(a)/h
k(PQ)=är kurvans luting eller k-värde.
Ändringskvoten (Dy/Dx) kan även kallas differenskvot.
Tagentens lutning.
Om P är en fast punkt på kurvan och h närmar sig 0 så gäller.
Med att kurvans lutning i punkten P menas lutning för kurvans tangent i P.
Man kan se att en sekantens k-värde är ett bra närmevärde till tangentens lutning om man väljer ett litet intervall.
Derivata
Med derivata kan man se.
Derivator är matematisk sätt att beskriva förändringshastigheter vilket gör att följande saker i grunden samma sak.
Derivatan av funktionen y=f(x) i punkten a=x kan skrivas f´(a) som uttalas "f prim a". Derivatan f´(a) i punkten a är ett tal.
Nu följer exempel på hur detta tal tolkas.
Vattnet vid en sten, djupet ändras under ett dygn tak vare tid vattnet
Djupet är h (t) m vid tiden t timmar räknat från midnatt. Vid kl 12 är djupet 0,4m och det stiger med 2,5cm per timme. Formulerat med funktionen h.
kl12 = t (t=12)
vattendjupet var då 0,4m (40cm)
h = h(12)=0,4
Förändringshastigheten är då 2,5cm/timme = 0,025m/timme.
Derivatan av funktionen h för t=12 är 0,025 mao. h´(12)=0,025
Svar: h(12)=0,4 och h´(12)=0,025.
Eller
Bakterier utsätts ett bakterie dödande medel. efter t min är antalet bakterier N(t)
Så vi har tex.
N(10)=2,7*10^13 och N´(10)=-5,4*10^12
Det betyder att
N(10)=2,7*10^13 att efter tio minuter finns det 2,7*10^13 bakterier.
N´(10)=-5,4*10^12 betyder att att antalet bakterier som dör per minut är 5,4*10^12.
Derivatans definition.
Tidigare gav vi tangentens lutning till y=x^2 i punkten P(1,1) och Q((1+h), (1+h)^2), när Q och P närmar sig varandra.
k(QP)=((1+h)^2-1^2)/h=(1+2h+h^2-1)/h=2+h
När h närmar sig noll närmar sig k-värdet 2.
Då kan man skriva detta på olika sätt.
1. k(QP) går mot 2 då h går mot noll, som kan skrivas k(QP)=2 då h=0.
2. Gränsvärdet för k(QP) då h går mot 0 är 2, vilket kort skrivs lim(h mot 0) = 2
Det betyder att lim x till a f(x)=L betyder att f(x) kan att anta värden hur nära L som helst för alla x värden tillräcklig nära (men inte lika med) värdet a.
Så då får vi Sekant till Tangent.
Principen till att hitta tangentens lutning i en punkt, mao. derivatans värde i punkten, när punkterna P och Q närmar sig och då behöver vi se ett gränsvärde för Dy/Dx= (f(a+h)-f(a)/h observera att Dx=h kan inte vara noll. då vi inte får dividera med noll.
Derivatan av polynom.
Vad för mönster följer ett derivatan av ett polynom?
detta mönster
f(x) f´(x)
x 1
x^2 2x
x^3 3x^2
x^4 4x^3
x^5 5x^4
Så mönstret fortsätter bör f(x)=x^100 bör derivatan f´(x)=100x^99.
Derivatan av f(x)=x^n
För f(x)=x^n, där n är ett positivt heltal, är derivatan f´(x)=nx^n-1
Derivatan av en konstant är noll! f(x)=7 är alla x värden 0.
Jag får fortsätta senare med detta vid ett senare tillfälle.
Tex. om en myrstacks befolkning av myror ökar från 1000st till 5000st på 20dagar lägger man upp följande formaula.
(5000-1000)/(20-0)=200st/dag.
Då har man ett genomsnitt på ökningen per dag i staken. Men bara under den mätta perioden.
Så man tar nytt värde - gammalt värde. och delar den med tidsperioden som man intresserad av.
Så mellan dessa punkter på en graf får man en Sekant, en rät linje mellan två punkter vilket visar intervallets k-värde.
Tangent är ett värde som visar kurvans lutning när en rät linje tangerar en punkt i kurvan. Tangenten visar och kurvans k-värde vid en punkt.
Sekantens lutning får man genom att riktnings koefficienten är k(PQ) och nås genom:
DeltaY=f(a+h)-f(a)
DeltaX=a+h-a=h
k(PQ)=Dy/Dx=(f(a+h)-f(a)/h
k(PQ)=är kurvans luting eller k-värde.
Ändringskvoten (Dy/Dx) kan även kallas differenskvot.
Tagentens lutning.
Om P är en fast punkt på kurvan och h närmar sig 0 så gäller.
- Punkten Q att närma sig punkten P
- Sekanten PQ att närma sig tangenten i P
- Lutningen för sekanten PQ att närma sig lutningen för tangenten i P
Med att kurvans lutning i punkten P menas lutning för kurvans tangent i P.
Man kan se att en sekantens k-värde är ett bra närmevärde till tangentens lutning om man väljer ett litet intervall.
Derivata
Med derivata kan man se.
- När har en löpare sin högsta hastighet.
- Med vilken hastighet ökar befolkningen i staden X just nu.
- När utsätts en pilot för högst påfrestning av G krafter.
Derivator är matematisk sätt att beskriva förändringshastigheter vilket gör att följande saker i grunden samma sak.
- Förändringshastighet
- Tangentens lutning
- Kurvans lutning ( i en punkt)
- Derivatan.
Derivatan av funktionen y=f(x) i punkten a=x kan skrivas f´(a) som uttalas "f prim a". Derivatan f´(a) i punkten a är ett tal.
Nu följer exempel på hur detta tal tolkas.
Vattnet vid en sten, djupet ändras under ett dygn tak vare tid vattnet
Djupet är h (t) m vid tiden t timmar räknat från midnatt. Vid kl 12 är djupet 0,4m och det stiger med 2,5cm per timme. Formulerat med funktionen h.
kl12 = t (t=12)
vattendjupet var då 0,4m (40cm)
h = h(12)=0,4
Förändringshastigheten är då 2,5cm/timme = 0,025m/timme.
Derivatan av funktionen h för t=12 är 0,025 mao. h´(12)=0,025
Svar: h(12)=0,4 och h´(12)=0,025.
Eller
Bakterier utsätts ett bakterie dödande medel. efter t min är antalet bakterier N(t)
Så vi har tex.
N(10)=2,7*10^13 och N´(10)=-5,4*10^12
Det betyder att
N(10)=2,7*10^13 att efter tio minuter finns det 2,7*10^13 bakterier.
N´(10)=-5,4*10^12 betyder att att antalet bakterier som dör per minut är 5,4*10^12.
Derivatans definition.
Tidigare gav vi tangentens lutning till y=x^2 i punkten P(1,1) och Q((1+h), (1+h)^2), när Q och P närmar sig varandra.
k(QP)=((1+h)^2-1^2)/h=(1+2h+h^2-1)/h=2+h
När h närmar sig noll närmar sig k-värdet 2.
Då kan man skriva detta på olika sätt.
1. k(QP) går mot 2 då h går mot noll, som kan skrivas k(QP)=2 då h=0.
2. Gränsvärdet för k(QP) då h går mot 0 är 2, vilket kort skrivs lim(h mot 0) = 2
Det betyder att lim x till a f(x)=L betyder att f(x) kan att anta värden hur nära L som helst för alla x värden tillräcklig nära (men inte lika med) värdet a.
Så då får vi Sekant till Tangent.
Principen till att hitta tangentens lutning i en punkt, mao. derivatans värde i punkten, när punkterna P och Q närmar sig och då behöver vi se ett gränsvärde för Dy/Dx= (f(a+h)-f(a)/h observera att Dx=h kan inte vara noll. då vi inte får dividera med noll.
Derivatan av polynom.
Vad för mönster följer ett derivatan av ett polynom?
detta mönster
f(x) f´(x)
x 1
x^2 2x
x^3 3x^2
x^4 4x^3
x^5 5x^4
Så mönstret fortsätter bör f(x)=x^100 bör derivatan f´(x)=100x^99.
Derivatan av f(x)=x^n
För f(x)=x^n, där n är ett positivt heltal, är derivatan f´(x)=nx^n-1
Derivatan av en konstant är noll! f(x)=7 är alla x värden 0.
Jag får fortsätta senare med detta vid ett senare tillfälle.
Prenumerera på:
Inlägg (Atom)